Vecteurs dans un repère

Propriété

Soit \((\text{O}\,;\vec{i},\vec{j})\) un repère du plan, et deux points \(\text{A}\left(x_{\text{A}}\,;y_{\text{A}}\right)\) et \(\text{B}\left(x_{\text{B}}\,;y_{\text{B}}\right)\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) sont \(\begin{pmatrix} x_{\text{B}}-x_{\text{A}}\\y_{\text{B}}-y_{\text{A}} \end{pmatrix}\) dans la base de vecteurs \((\vec{i},\vec{j})\).

Propriété

Soit \((\text{O}\,;\vec{i},\vec{j})\) un repère orthonormé du plan, et deux points \(\text{A}\left(x_{\text{A}}\,;y_{\text{A}}\right)\) et \(\text{B}\left(x_{\text{B}}\,;y_{\text{B}}\right)\).
La distance \(\text{AB}\), qui est aussi la norme du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\), est égale à : \(\text{AB}=\|\overrightarrow{\text{AB}}\|=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}\).
Ainsi, pour un vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\), on a \(\|\vec{u}\|=\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}\).

Remarque

Comprendre l’idée de la démonstration permet de mieux retenir cette formule qui est une conséquence directe du théorème de Pythagore.
En effet, si on considère le point \(\text C\) de coordonnées \((x_\text B\,;y_\text A)\), il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore au triangle \(\text A\text B\text C\), rectangle en \(\text C\).

Exemple

Dans un repère du plan, on considère les points \(\text{A}(3\,;-5)\) et \(\text{B}(-1\,;2)\).
\(\overrightarrow{\text{AB}}  \begin{pmatrix} \color{blue}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}\\\color{green}{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}} \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{AB}}  \begin{pmatrix} \color{blue}{-1-3}\\ \color{green}{2-(-5)} \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{AB}}  \begin{pmatrix} \color{blue}{-4}\\\color{green}{7} \end{pmatrix}\)
\(\text{AB}=\|\overrightarrow{\text{AB}}\|=\sqrt{(\color{blue}{x_\text{B}-x_\text{A}})^2+(\color{green}{y_\text{B}-y_\text{A}})^2}=\sqrt{\color{blue}{(-4)}^2+\color{green}{7}^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\)